Chéo Hóa Ma Trận Là Gì

     

Đặt bài bác toán

Có một bài bác toán: cho V là không gian vector hữu hạn,

*
là 1 trong những toán tử tuyến tính trên V. Ta sẽ biết ma trận của T nhờ vào cơ sở lựa chọn trong V. Ta ước muốn có một cơ sở thế nào cho ma trận của T bao gồm dạng đơn giản như dạng chéo chẳng hạn. Hỏi có hay không một cửa hàng trực giao vào V làm thế nào để cho ma trận của T đối với cơ sở đó là 1 trong ma trận chéo?

Bài toán 2: Cũng một mang thiết trên. Hỏi có hay là không một đại lý trực giao trong V làm sao để cho ma trận của T đối với cơ sở đó là 1 ma trận chéo?

Cách giải

Giả sử A là ma trận của T đối với cơ sở khẳng định nào kia trong V. Ta xét một phép đổi cơ sở. Theo định lý ma trận của ánh xạ tuyến đường tính thông qua phép chuyển đổi cơ sở thì ma trận mới của T đang là

*
trong các số ấy P là ma trận thay đổi cơ sở.

Bạn đang xem: Chéo hóa ma trận là gì

Vậy bài bác toán đầu tiên tương đương với vấn đề sau: Hỏi có tồn tại một phép biến hóa cơ sở để ma trận bắt đầu của T so với cơ sở new là ma trận chéo?

Nếu V là một không khí có tích vô hướng với những các đại lý là trực chuẩn chỉnh thì theo định lý “Nếu phường là ma trận đưa cơ sở từ 1 cơ sở trực chuẩn chỉnh sang một các đại lý trực chuẩn chỉnh mới thì nó trực giao, tức là

*
trong những số đó P^t là ma trận chuyển vị, I là ma trận 1-1 vị, do đó
*
“, phường là trực giao.

Định nghĩa

Cho ma trận vuông A. Giả dụ tồn trên một ma trận khả đảo P thế nào cho

*
là ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo cánh hoá được xuất xắc P chéo hoá mang lại A. Bởi vậy A chéo cánh hoá được giả dụ nó đồng dạng với cùng 1 ma trận chéo.

Giải bài xích toán chéo hoá ma trận

Giả sử A là ma trận vuông cấp n (n nguyên dương). Điều kiện nên và đủ để A chéo hoá được là nó bao gồm vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Chứng minh: đưa sử A chéo hoá được, có nghĩa là tồn tại phường khả đảo trong đó

*
,

sao cho

*
, với

*
.

Ta suy AP = PD.

Xem thêm: Tìm Hiểu Về Tác Dụng Phụ Của Thuốc Giảm Cân Lishou Có Tác Dụng Phụ Gì

Gọi

*
là những vectơ cột của P, ta thấy những cột liên tiếp của AP là
*
. Đồng thời

*

Vậy phương trình AP = PD mang lại thấy

*

Vì p khả hòn đảo nên những vectơ

*
vì thế
*
là các trị riêng biệt của A cùng
*
là những vectơ riêng biệt tương ứng.

Cũng do phường khả hòn đảo nên định thức của chính nó khác 0 và các vectơ

*
tự do tuyến tính.

Vậy lúc A chéo hoá được thì nó bao gồm n vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Quy trình chéo hoá một ma trận

B1: tìm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A:

*

B2: Lập ma trận p. Có hàng vectơ bên trên làm những cột

B3: Ma trận

*
sẽ là ma trận chéo với
*
là các thành phần chéo liên tiếp, trong đó
*
là các trị riêng rẽ ứng
*
, i = 1,2,…,n.

Xem thêm: Câu 2: Bài Thơ Tiếng Gà Trưa Thuộc Thể Thơ Gì ? Bài Thơ Tiếng Gà Trưa Được Viết Theo Thể Thơ Gì

Chéo hoá ma trận gồm n trị riêng khác nhau

Định lý

Nếu ma trận A vuông cấp cho n gồm n trị riêng rẽ ứng khác biệt thì A chéo hoá được.